Chapter 05

렌즈와 마이크로 광학

센서는 렌즈가 만들어 준 상(像)만 볼 수 있다. 이 장에서는 렌즈가 상을 맺는 원리부터 F-넘버, 심도, 화각, 회절 한계와 MTF를 다루고, 픽셀 바로 위에서 빛을 모으는 마이크로렌즈와 주광선각(CRA) 문제, 그리고 스마트폰 카메라 모듈의 실제 구성까지 따라가 본다.

얇은 렌즈 공식으로 상의 위치·크기를 구하고, 센서가 상면에서 벗어났을 때 생기는 착란원을 계산한다.
F-넘버가 노출·심도·회절에 동시에 미치는 영향을 정량적으로 설명한다.
광학 포맷(1/2.55", 1", APS-C, 풀프레임)의 실제 크기와 35mm 환산 초점거리를 구한다.
에어리 디스크와 픽셀 피치, 렌즈 MTF와 나이퀴스트 주파수의 관계를 이해한다.
CRA와 마이크로렌즈 시프트, cos⁴ 법칙에 따른 렌즈 쉐이딩, 카메라 모듈 부품의 역할을 안다.

결상의 기본: 얇은 렌즈

물체의 한 점에서 퍼져 나온 광선들이 렌즈를 지나 다시 한 점으로 모이는 것을 결상(Image Formation)이라 한다. 모이는 점들의 집합이 상(Image)이고, 센서는 바로 그 상이 맺히는 면, 즉 상면(Image Plane)에 놓여야 선명한 사진을 얻는다.

두께를 무시할 수 있는 얇은 렌즈(Thin Lens) 모델에서, 렌즈 중심에서 물체까지 거리를 $s$, 상까지 거리를 $s'$, 초점거리를 $f$라 하면 다음 관계가 성립한다.

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{s} + \frac{1}{s'} \qquad\qquad m = \frac{h'}{h} = -\frac{s'}{s}$$

$m$은 횡배율(Lateral Magnification). 음수이면 상이 뒤집힌 도립 실상이다. $s < f$이면 $s' < 0$이 되어 렌즈 앞쪽(물체 쪽)에 정립 허상이 생긴다(돋보기).

상의 위치는 세 개의 주요 광선(Principal Rays)만 그려도 작도할 수 있다. ① 광축에 평행하게 들어온 광선은 뒤쪽 초점 F′을 지난다. ② 렌즈 중심을 지나는 광선은 꺾이지 않는다. ③ 앞쪽 초점 F를 지나 들어온 광선은 광축에 평행하게 나간다. 세 광선이 만나는 점이 물체 끝점의 상이다.

그림 5-1. 세 주요 광선에 의한 상 작도. $s=2.2f$일 때 $s'\approx1.83f$, 배율 $m\approx-0.83$인 도립 실상이 생긴다.

센서가 상면에서 벗어나면: 착란원

조리개 지름을 $D$라 하면 한 물점에서 나온 빛은 지름 $D$의 원뿔로 렌즈를 지나 상점에 모였다가 다시 퍼진다. 센서가 상면에서 $\Delta = d - s'$만큼 벗어나 있으면 점은 점이 아니라 원판으로 찍히는데, 이것을 착란원(Circle of Confusion, CoC) 또는 블러 원이라 한다. 닮은 삼각형으로부터

$$c = D\,\left|1-\frac{d}{s'}\right| = D\,\frac{|d-s'|}{s'}$$

$d$는 렌즈–센서 거리. 초점 조절(AF)이란 결국 $d$를 움직여 $d=s'$로 만드는 일이다.

스마트폰 메인 카메라($f = 4.3$ mm)로 1 m 앞 물체를 찍는다면 $s' = \frac{1000\times4.3}{1000-4.3} = 4.3186$ mm로, 무한원 초점 위치보다 겨우 18.6 µm 뒤다. 모바일 AF 액추에이터가 수백 µm 정도의 행정(Stroke)만으로 충분한 이유다.

SIMULATOR

광선 추적: 얇은 렌즈 결상과 착란원

물체·센서를 좌우로 끌어 보세요

물체 거리 s 초점거리 f F-넘버 N 센서 위치 d 자동 초점 (센서를 상면에) 실제 광속(조리개 원뿔) 표시

상 거리 s′—

배율 m—

상의 종류—

조리개 지름 D—

착란원 지름 c—

해볼 것: ① 물체를 2f 위치에 두면 배율이 −1이 되는지 확인. ② 물체를 F 안쪽(s < f)으로 끌면 광선이 발산하고 허상(점선)이 생긴다. ③ 초점을 약간 어긋나게 둔 채 F-넘버를 키우면 착란원이 줄어드는 것 — 이것이 심도가 깊어지는 원리다. (길이 단위는 임의의 mm 척도)

조리개, F-넘버와 심도

렌즈가 모으는 빛의 양은 입사동(Entrance Pupil) 지름 $D$의 면적에 비례하고, 그 빛이 퍼지는 상의 면적은 $f^2$에 비례한다. 그래서 상면 조도는 두 길이의 비율 하나로 정해지는데, 이 비율이 F-넘버(F-number, 조리개 값)다.

$$N = \frac{f}{D} \qquad\qquad E_{\text{image}} \approx \frac{\pi L\,T}{4N^2}\;\propto\;\frac{1}{N^2}$$

$L$은 물체 휘도(cd/m²), $T$는 렌즈 투과율. 물체가 무한원에 가깝고 광축 근처일 때의 근사식. 상면 조도는 초점거리나 센서 크기와 무관하게 N만으로 정해진다.

조리개 눈금 1, 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8…은 $\sqrt2$배씩 커지는 수열로, 한 칸(1 스톱, 1 stop)마다 빛의 양이 정확히 절반이 된다. 스마트폰 메인 카메라는 보통 f/1.5~f/1.9, 초광각은 f/2.2, 망원은 f/2.4~f/3.5 정도다. f/1.8과 f/2.4를 비교하면 $(2.4/1.8)^2 = 1.78$배, 약 0.83 스톱의 광량 차이가 난다.

그림 5-2. 한 스톱마다 지름은 $1/\sqrt2$, 면적(광량)은 1/2이 된다.

센서 관점에서 본 F-넘버

픽셀 하나가 받는 광자 수는 $\propto A_{\text{pix}}\,t_{\text{exp}}/N^2$이다. 픽셀 면적 $A_{\text{pix}}$가 1/4로 줄면(피치 1/2) 같은 신호를 얻으려면 F-넘버를 절반으로 줄이거나 노출을 4배 늘려야 한다. 모바일 렌즈가 끊임없이 밝아지는(F-넘버가 작아지는) 이유다. 다만 N이 작아지면 광선이 센서에 더 비스듬히 들어와(최대 입사각 $\approx\arctan\frac{1}{2N}$) 픽셀의 각도 응답 문제가 커진다.

심도 (Depth of Field)

초점을 맞춘 거리 $s$의 앞뒤로도 착란원이 허용 착란원 $c$보다 작으면 '충분히 선명하다'고 본다. 이 거리 범위가 심도(Depth of Field, DOF)다. 필름 시대에는 풀프레임 기준 $c = 30$ µm(대각선/1500)를 관례로 썼지만, 픽셀 단위로 선명도를 따지는 센서 공학에서는 $c \approx 2p$(픽셀 피치 2개)처럼 픽셀 피치에 묶어 정하는 것이 자연스럽다.

그림 5-3. 초점 거리 $s$보다 가까운 점은 센서 뒤에, 먼 점은 센서 앞에 상을 맺는다. 센서 위 블러가 허용 착란원 $c$ 이하인 범위가 심도다.

얇은 렌즈 공식과 착란원 식을 풀면 다음 결과를 얻는다. $H$는 과초점 거리(Hyperfocal Distance)로, 여기에 초점을 맞추면 $H/2$부터 무한대까지 모두 허용 범위 안에 들어온다.

$$H = \frac{f^2}{N c} + f, \qquad D_n = \frac{s\,(H-f)}{H + s - 2f}, \qquad D_f = \frac{s\,(H-f)}{H - s}\;\;(s < H)$$

$s \ge H$이면 $D_f=\infty$. 초점 거리 $s$에 초점을 맞췄을 때 거리 $x$에 있는 물점의 블러는 $b(x) = \dfrac{f^2}{N(s-f)}\,\dfrac{|x-s|}{x}$.

계산 예: 스마트폰 메인 카메라

$f = 6.9$ mm, f/1.8, 픽셀 1.2 µm, $c = 2p = 2.4$ µm. $H = 6.9^2/(1.8\times0.0024) + 6.9 \approx 11.0$ m. 1.5 m에 초점을 맞추면 $D_n = 1.32$ m, $D_f = 1.74$ m로 심도는 약 0.41 m다. 같은 화각의 풀프레임(50 mm, f/1.8, $c$=30 µm 관례)으로 3 m를 찍으면 $D_n=2.82$ m, $D_f=3.20$ m. 모바일의 초점거리가 짧아 기본 심도가 훨씬 깊고, 그래서 '인물 모드'의 배경 흐림은 소프트웨어로 만든다.

SIMULATOR

심도 계산기: 블러 곡선과 근점·원점

프리셋

초점거리 f F-넘버 N 초점 거리 s 픽셀 피치 p

허용 착란원 c

허용 착란원 c—

근점 Dₙ—

원점 D_f—

심도—

과초점 거리 H—

해볼 것: 초점을 과초점 거리 H 근처로 옮기면 원점이 ∞가 되는 순간을 보자. 같은 N에서 f를 두 배로 늘리면 H는 약 4배가 된다. 픽셀 피치를 줄여 c를 엄격하게 잡으면 같은 렌즈라도 '선명한' 범위가 좁아진다.

화각과 센서 크기

같은 렌즈라도 센서가 크면 상의 더 넓은 영역을 담는다. 센서 대각선을 $d$, 초점거리를 $f$라 하면 (무한원 초점, 왜곡 없는 렌즈) 대각 화각(Diagonal Field of View)은

$$\text{FOV} = 2\arctan\frac{d}{2f}, \qquad k_{\text{crop}} = \frac{43.27\ \text{mm}}{d}, \qquad f_{35\text{mm eq}} = k_{\text{crop}}\cdot f$$

43.27 mm는 35 mm 풀프레임(36 × 24 mm)의 대각선. 환산 초점거리는 "풀프레임에서 같은 화각을 주는 초점거리"다.

'인치' 포맷의 함정

1/2.55", 1/1.3", 1" 같은 광학 포맷(Optical Format) 표기는 센서의 실제 크기가 아니다. 1950년대 비디콘(Vidicon) 촬상관의 유리관 바깥 지름에서 온 이름으로, 1인치(25.4 mm) 관의 실제 감광면 대각선은 약 16 mm였다. 그래서 "1형" 센서의 대각선은 약 16 mm이고, 작은 포맷에서는 제조사마다 1인치 ≈ 17~18 mm로 환산하는 등 기준도 일정하지 않다. 예컨대 1/2.55" 센서(1.4 µm × 4032 × 3024)의 실제 대각선은 7.06 mm로, 16 mm 규칙(6.27 mm)보다 크다.

그림 5-4. '인치' 포맷은 옛 촬상관의 외경에서 유래했다. 1형 센서의 대각선(≈16 mm)은 1인치의 약 2/3에 불과하다.

포맷	크기 (mm)	대각 (mm)	크롭 팩터	대표 용도
1/2.55"	5.64 × 4.23	7.05	6.14	12 MP 1.4 µm 폰 메인(2017~19), 보조 카메라
1/2"	6.40 × 4.80	8.00	5.41	48 MP 0.8 µm 등
1/1.3"	9.80 × 7.35	12.25	3.53	50 MP 1.2 µm 플래그십 메인
1"	13.2 × 8.8	15.86	2.73	하이엔드 폰, 컴팩트 카메라
포서드 (4/3)	17.3 × 13.0	21.64	2.00	미러리스(MFT)
APS-C	23.5 × 15.6	28.21	1.53	DSLR/미러리스
풀프레임 (FF)	36 × 24	43.27	1.00	기준 포맷

계산 예. 1/1.3" 센서(대각 12.25 mm)에 $f = 6.9$ mm 렌즈를 쓰면 크롭 팩터 3.53, 환산 초점거리 $6.9\times3.53 \approx 24$ mm, 대각 화각 $2\arctan(12.25/13.8) \approx 83°$로 전형적인 광각 메인 카메라가 된다.

SIMULATOR

센서 크기 비교와 35mm 환산 화각

센서 포맷

초점거리 f 같은 f의 풀프레임 화각 겹쳐 보기

대각선—

크롭 팩터—

35mm 환산—

대각 화각—

수평 화각—

해볼 것: 1/2.55" 센서로 풀프레임 24 mm와 같은 화각을 얻으려면 f가 몇 mm여야 할까? (답: 약 3.9 mm) 센서가 작을수록 같은 화각에 필요한 초점거리가 짧아지고, 그만큼 모듈 높이(TTL)도 줄어든다.

회절 한계: 에어리 디스크와 픽셀

수차가 전혀 없는 완벽한 렌즈라도 점을 점으로 만들 수 없다. 빛은 파동이므로 원형 조리개를 지날 때 회절하여, 상면에 에어리 패턴(Airy Pattern)이라는 밝은 원판과 동심원 고리를 만든다. 원형 조리개의 점 확산 함수(PSF)는 1종 1차 베셀 함수 $J_1$로 표현된다.

$$I(r) = I_0\left[\frac{2J_1(x)}{x}\right]^2,\qquad x = \frac{\pi r}{\lambda N}, \qquad d_{\text{Airy}} = 2.44\,\lambda N$$

첫 번째 어두운 고리는 $x = 3.832$, 즉 $r_1 = 1.22\lambda N$에서 생긴다. 이 안쪽 원판(에어리 디스크)에 전체 에너지의 약 84%가 들어 있다.

λ = 550 nm(녹색)일 때 에어리 디스크 지름은 f/1.8에서 2.42 µm, f/2.8에서 3.76 µm, f/8에서 10.7 µm다. 0.7 µm 픽셀 입장에서는 f/1.8 렌즈조차 점 하나를 3×3 픽셀 이상으로 번지게 한다. 이처럼 에어리 디스크가 픽셀 몇 개 크기를 넘어서면 해상도가 픽셀 수가 아니라 회절로 결정되는데, 이 상태를 회절 한계(Diffraction-Limited)라 한다. 초소형 픽셀에서 '화소 수 경쟁'의 실익이 줄어드는 근본 이유이며, 동시에 고화소 센서가 쿼드 비닝(Quad Binning) 모드를 기본으로 쓰는 이유이기도 하다.

SIMULATOR

에어리 패턴 vs 픽셀 그리드

파장 λ F-넘버 N 픽셀 피치 p 고리 강조 (감마 표시)

에어리 지름 2.44λN—

지름 / 피치—

중심 픽셀 에너지—

d=2p 되는 F값—

위: PSF를 픽셀 그리드에 겹친 2D 분포(점선 원 = 첫 번째 어두운 고리). 아래: 중심을 지나는 1D 강도 단면과, 중심 행의 각 픽셀이 받는 에너지 비율(막대). 해볼 것: p = 0.7 µm에서 N을 1.8→4로 올리면 중심 픽셀 에너지가 어떻게 줄어드는지, 빨간 빛(650 nm)이 파란 빛보다 얼마나 더 퍼지는지 확인하자.

에너지 규격화

$I_0=1$로 둔 에어리 PSF의 전체 적분은 $\int_0^\infty [2J_1(x)/x]^2\,2\pi r\,dr = \frac{4(\lambda N)^2}{\pi}$이다. 시뮬레이터는 이 값으로 나눠 각 픽셀 정사각형 안의 에너지 비율을 수치 적분한다. 참고로 원 안의 에너지(Encircled Energy)는 $\mathrm{EE}(x) = 1 - J_0^2(x) - J_1^2(x)$로 닫힌 식이 있다.

MTF와 나이퀴스트 주파수

해상력을 한 숫자로 말하기는 어렵다. 대신 광학계는 공간 주파수마다 명암 대비를 얼마나 보존하는지로 평가하는데, 이것이 변조 전달 함수(Modulation Transfer Function, MTF)다. 입력으로 사인파 줄무늬(명암 대비 1)를 넣었을 때 출력 대비의 비율이며, 공간 주파수는 mm당 선쌍 수 lp/mm(line pairs per mm)로 센다. 1 lp는 밝은 선 하나와 어두운 선 하나다.

그림 5-5. 픽셀 피치 $p$로 샘플링할 때 표현 가능한 최고 주파수는 픽셀 두 개가 한 선쌍을 이루는 나이퀴스트 주파수 $1/(2p)$이다. 그보다 높은 주파수는 가짜 무늬(에일리어싱, 모아레)로 둔갑한다.

선형 시스템의 MTF는 각 요소 MTF의 곱이다. 렌즈(회절 + 수차), 픽셀 개구, 그리고 크로스토크나 디모자이킹까지 곱해져 시스템 MTF가 된다. 수차 없는 원형 조리개의 회절 MTF와, 폭 $a$인 정사각 픽셀 개구의 MTF는 다음과 같다.

$$\text{MTF}_{\text{diff}}(\nu) = \frac{2}{\pi}\left[\phi - \cos\phi\,\sin\phi\right],\quad \phi = \arccos\frac{\nu}{\nu_c},\quad \nu_c = \frac{1}{\lambda N}$$ $$\text{MTF}_{\text{pix}}(\nu) = \left|\frac{\sin(\pi a\nu)}{\pi a\nu}\right|,\qquad \text{MTF}_{\text{sys}} = \text{MTF}_{\text{diff}}\cdot\text{MTF}_{\text{aber}}\cdot\text{MTF}_{\text{pix}}$$

$\nu_c$는 차단 주파수(Cutoff): 이보다 높은 주파수는 렌즈를 전혀 통과하지 못한다. $a$는 유효 개구 폭(≈ 피치 × 필 팩터).

계산 예. p = 1.0 µm(나이퀴스트 500 lp/mm), λ = 550 nm, f/1.8이면 $\nu_c = 1/(0.00055\times1.8) = 1010$ lp/mm. 나이퀴스트에서 $\nu/\nu_c = 0.495$이므로 회절 MTF ≈ 0.40, 픽셀 개구 MTF = $\sin(\pi/2)/(\pi/2) = 0.64$, 시스템 MTF ≈ 0.25다. 완벽한 렌즈라 가정해도 나이퀴스트에서의 대비가 1/4로 줄어든다.

SIMULATOR

시스템 MTF = 렌즈 × 픽셀

파장 λ F-넘버 N 픽셀 피치 p 개구 폭 a / p 수차 블러 σ

렌즈 회절수차(가우시안)픽셀 개구 sinc시스템

나이퀴스트 1/(2p)—

회절 차단 νc—

MTF @ Nyq/2—

MTF @ Nyq—

MTF50—

해볼 것: 개구 폭을 줄이면(작은 개구 = 필 팩터 감소) 픽셀 MTF는 좋아지지만 감도가 줄어든다. 나이퀴스트 오른쪽 빗금 영역의 MTF가 크면 에일리어싱이 심해진다 — 저가 센서가 광학 저역 통과 필터(OLPF) 없이도 버티는 것은 렌즈 MTF가 그곳에서 이미 낮기 때문이다.

수차: 완벽하지 않은 렌즈

얇은 렌즈 공식은 광축 가까이, 작은 각도로 지나는 근축 광선(Paraxial Ray)에서만 정확하다. 실제 구면 렌즈에서는 광선 높이·각도·파장에 따라 결상 위치가 조금씩 달라지며, 이 어긋남을 수차(Aberration)라 한다. 스넬 법칙의 $\sin\theta \approx \theta - \theta^3/6$ 전개에서 3차 항이 만드는 다섯 가지 자이델 수차(구면, 코마, 비점, 상면 만곡, 왜곡)와 파장에 따른 색수차가 대표적이다.

그림 5-6. 대표적 수차. 구면수차와 색수차는 점을 흐리게 만들고(MTF 저하), 왜곡은 선명도는 유지한 채 모양만 휘게 한다(ISP에서 기하 보정 가능).

수차	현상	센서/모듈에서의 영향과 대책
구면 수차	광선 높이에 따라 초점이 다름	밝은 렌즈(작은 N)일수록 심함. 비구면(Asphere)으로 보정
코마	축외 점이 혜성 꼬리 모양으로 번짐	화면 주변부 해상력 저하
비점수차·상면 만곡	방향별로 초점이 다름, 상면이 휘어짐	평면 센서의 코너가 흐려짐. 곡면 센서 연구의 동기
왜곡	배율이 상 높이에 따라 변함	초광각에서 수 % 이상. ISP 기하 보정(해상도 일부 손실)
색수차	파장별 초점(축상)·배율(배율 색수차) 차이	가장자리 보라색 테두리(Purple Fringing). 저분산 소재 조합, ISP 보정

스마트폰 렌즈는 5~7장의 플라스틱 비구면 렌즈로 이 수차들을 동시에 억제한다. 비구면 면형(Sag)은 다음 다항식으로 기술되며, 계수 $A_4, A_6,\dots$ 덕분에 렌즈 한 장이 구면 렌즈 여러 장의 역할을 한다.

$$z(r) = \frac{r^2/R}{1+\sqrt{1-(1+k)\,r^2/R^2}} + A_4r^4 + A_6r^6 + A_8r^8 + \cdots$$

$R$: 곡률 반경, $k$: 원뿔 상수(Conic Constant). 모바일 마지막 렌즈의 갈매기 날개(Gull-wing) 형상이 바로 고차항의 결과다.

주광선각(CRA)과 마이크로렌즈 시프트

조리개 중심을 지나는 광선을 주광선(Chief Ray)이라 하고, 이 광선이 센서 면의 법선과 이루는 각을 주광선각(Chief Ray Angle, CRA)이라 한다. 화면 중심에서는 CRA = 0°이지만, 가장자리로 갈수록 주광선이 비스듬히 들어온다. 렌즈 높이(TTL, Total Track Length)를 극도로 줄여야 하는 스마트폰 렌즈는 사출동(Exit Pupil)이 센서에 가까워 CRA가 커서, 최대 이미지 높이에서 30~36°에 이른다. 반면 사출동이 먼 DSLR 렌즈(텔레센트릭에 가까움)는 10° 안팎이다.

그림 5-7. 이미지 높이가 커질수록 CRA가 커진다. 가장자리 픽셀의 마이크로렌즈를 광학 중심 쪽으로 옮겨(Microlens Shift) 빛 스폿이 포토다이오드 중앙에 떨어지게 만든다.

비스듬히 들어온 빛은 마이크로렌즈에서 굴절된 뒤 적층 두께 $t$(마이크로렌즈 꼭대기 ~ 실리콘 표면)를 지나는 동안 옆으로 이동한다. 적층 매질의 굴절률을 $n$이라 하면 스폿 이동량과, 이를 상쇄하는 마이크로렌즈 시프트는

$$\Delta x = t\,\tan\theta_{\text{in}},\qquad \theta_{\text{in}} = \arcsin\frac{\sin\theta_{\text{CRA}}}{n}, \qquad \text{shift}(h) = t\,\tan\!\left[\arcsin\frac{\sin\theta_{\text{CRA}}(h)}{n}\right]$$

$t = 2$ µm, $n = 1.55$, CRA = 35°이면 $\theta_{\text{in}} = 21.7°$, $\Delta x \approx 0.80$ µm — 1 µm 픽셀에서는 거의 한 픽셀이다. 컬러필터와 금속 그리드도 같은 원리로 조금씩 시프트한다.

시프트량은 칩 설계 단계에서 특정 렌즈의 CRA 곡선에 맞춰 마스크에 새겨진다. 그래서 센서 데이터시트에는 '권장 CRA 곡선'이 있고, 렌즈와 센서의 CRA가 맞지 않으면(CRA 미스매치) 주변부가 어두워지고 컬러 쉐이딩(색이 틀어짐)과 크로스토크가 생긴다. BSI와 얇은 적층(작은 $t$), 딥 트렌치 격리(DTI)는 모두 CRA 허용 범위를 넓히는 방향의 기술이다.

SIMULATOR

마이크로렌즈 시프트와 주변부 감도

이미지 높이 렌즈 최대 CRA 시프트 설계 CRA 적층 두께 t

CRA—

ML 시프트—

스폿 오차—

상대 감도—

이웃 픽셀 누설—

위: 1.0 µm BSI 픽셀 단면(광학 중심은 왼쪽). 아래 왼쪽: 렌즈 CRA 곡선(실선)과 시프트 설계 CRA(점선). 아래 오른쪽: 센서 전체의 상대 감도 지도. 해볼 것: 시프트 없이 이미지 높이를 올려 스폿이 이웃 픽셀로 넘어가는 것을 보고, '렌즈 CRA에 맞추기'를 누른 뒤 렌즈 최대 CRA만 바꿔 미스매치를 만들어 보자.

렌즈 쉐이딩과 cos⁴ 법칙

균일한 흰 벽을 찍어도 사진 가장자리는 중심보다 어둡다. 이것을 렌즈 쉐이딩(Lens Shading, Vignetting) 또는 상대 조도(Relative Illumination, RI) 저하라 한다. 원인은 셋이다.

자연 비네팅 (cos⁴ 법칙): 축외 각 $\theta$로 들어오는 빛은 ① 동공이 비스듬히 보여 면적이 $\cos\theta$배, ② 상면까지 거리가 $1/\cos\theta$배로 멀어져 $\cos^2\theta$배, ③ 센서 면에 비스듬히 닿아 $\cos\theta$배. 합쳐서 $E(\theta) = E_0\cos^4\theta$.
기계적 비네팅: 렌즈 경통이나 앞뒤 렌즈 테두리가 축외 광속의 일부를 가림.
픽셀 각도 응답: 앞 절의 CRA 미스매치로 픽셀 자체가 비스듬한 빛을 덜 받음. 파장마다 달라 컬러 쉐이딩의 원인이 된다.

$$\mathrm{RI}(\theta) = \cos^4\theta\cdot V_{\text{mech}}(\theta)\cdot S_{\text{pix}}(\theta)$$

CRA 30°에서 cos⁴ 만으로 0.56, 35°에서 0.45. 실제 모바일 렌즈는 동공 수차를 이용해 코너 RI를 30~50% 수준으로 설계한다.

ISP는 렌즈 쉐이딩 보정(LSC, Lens Shading Correction)으로 위치별 게인 $g = 1/\mathrm{RI}$을 곱해 밝기를 평탄화한다. 하지만 게인은 신호와 함께 노이즈도 키우므로 코너의 SNR은 회복되지 않는다. 샷 노이즈 한계에서 코너 RI가 0.4이면 광자가 40%만 들어온 것이므로 SNR은 $\sqrt{0.4} \approx 0.63$배, 약 −4 dB 손해다.

SIMULATOR

상대 조도 지도와 쉐이딩 보정 게인

코너 주광선각 θ 기계적 비네팅 (코너)

표시

코너 RI—

cos⁴ 성분—

필요 게인—

코너 SNR 손실—

'보정 결과'는 LSC 게인을 곱한 균일 장면 이미지로, 밝기는 평탄하지만 코너 쪽 노이즈가 커진 것을 볼 수 있다. 아래 그래프는 중심→코너 대각선 방향의 단면이다.

IR 컷 필터, 커버 글라스와 카메라 모듈

실리콘은 약 1100 nm까지 빛을 흡수하므로, 그대로 두면 사람 눈에 보이지 않는 근적외선(NIR)이 R·G·B 픽셀 모두에 신호를 더해 색이 탁해지고 붉게 틀어진다. 그래서 가시광 카메라는 약 650 nm 이상을 막는 IR 컷 필터(IR-Cut Filter, IRCF)를 렌즈와 센서 사이에 둔다. 유전체 다층 박막 간섭 필터(반사형)와 청색 유리(Blue Glass, 흡수형)를 조합하는 것이 일반적인데, 간섭 필터는 입사각이 커지면 차단 파장이 짧은 쪽으로 이동(Blue Shift)하므로 CRA가 큰 모바일에서는 흡수형을 섞어 각도 의존성을 줄인다.

그림 5-8. IR 컷 필터(실선)는 약 400~650 nm만 통과시킨다. 점선은 실리콘 포토다이오드의 개략적인 상대 감도로, 필터가 없으면 넓은 NIR 대역이 신호에 섞인다.

커버 글라스(Cover Glass)는 센서 다이를 먼지와 습기로부터 보호하는 투명 창이다. 모바일 모듈에서는 IR 필터가 커버 글라스 역할을 겸하기도 하고, 칩 스케일 패키지(CSP)에서는 유리를 웨이퍼에 직접 접합한다. 유리판은 평행평판이라도 초점 위치를 $\Delta \approx t_g(1-1/n)$만큼 뒤로 밀기 때문에(0.21 mm 두께, n=1.52이면 약 72 µm), 렌즈 설계에 반드시 포함해야 한다. 유리 표면의 먼지는 센서에 가까울수록 선명한 그림자로 찍히고, 유리 면 사이 반사는 고스트·플레어의 원인이 된다.

그림 5-9. 스마트폰 카메라 모듈 분해도(개략). 위에서부터 렌즈 배럴(비구면 렌즈 스택과 조리개), 이를 움직이는 VCM(AF/OIS), IR 컷 필터, 홀더, 센서 다이와 기판. 모듈 공정에서는 렌즈 광축과 센서의 기울기(Tilt)를 수 µm·수 분(′) 수준으로 능동 정렬(Active Alignment)한다.

부품	역할	센서와 관계된 핵심 사양
렌즈 스택	결상, 수차 보정	F-넘버, 이미지 서클(= 센서 대각), CRA 곡선, MTF, RI, 왜곡
VCM / OIS	초점 이동, 손떨림 보정	AF 행정·정밀도(µm), OIS 보정 각(±1~3°), 센서 시프트 방식
IR 컷 필터	NIR 차단, 커버	T50 파장, 각도에 따른 이동량, 반사율(플레어)
센서	광전 변환	광학 포맷, 픽셀 피치, 설계 CRA(마이크로렌즈 시프트)

이미지 서클과 센서 대각선

렌즈가 만드는 선명한 상의 원형 영역(Image Circle)은 센서 대각선보다 약간 커야 한다. 센서를 더 큰 것으로 바꾸고 싶어도 렌즈 이미지 서클, CRA 곡선, 모듈 높이가 함께 바뀌어야 하므로, 광학 포맷 결정은 센서 단독이 아니라 모듈 전체의 설계 문제다.

핵심 정리

얇은 렌즈 공식 $1/f = 1/s + 1/s'$와 배율 $m=-s'/s$. 센서가 상면에서 벗어나면 착란원 $c = D|1-d/s'|$가 생긴다.
F-넘버 $N=f/D$: 상면 조도 $\propto 1/N^2$, 1 스톱 = 광량 2배. N이 크면 심도는 깊어지지만 회절이 커진다.
심도는 허용 착란원 $c$에 달려 있으며, 센서 관점에서는 $c\approx 2p$로 잡는다. 과초점 거리 $H = f^2/(Nc)+f$.
'인치' 광학 포맷은 촬상관 외경에서 유래한 명칭이다(1형 ≈ 16 mm 대각). 화각 $2\arctan(d/2f)$, 환산 초점거리 = 크롭 팩터 × f.
에어리 디스크 지름 $2.44\lambda N$이 픽셀 피치보다 커지면 회절 한계. 시스템 MTF = 렌즈 × 픽셀 개구(sinc) ×…, 나이퀴스트 $1/(2p)$에서의 값이 중요하다.
모바일 렌즈는 CRA가 가장자리에서 30°를 넘으므로 마이크로렌즈를 광학 중심 쪽으로 시프트한다. 렌즈–센서 CRA 미스매치는 주변 감도 저하·컬러 쉐이딩·크로스토크를 부른다.
렌즈 쉐이딩은 cos⁴ + 기계적 비네팅 + 픽셀 각도 응답. LSC 게인은 밝기만 회복하고 SNR은 회복하지 못한다.
카메라 모듈 = 비구면 렌즈 스택 + VCM(AF/OIS) + IR 컷 필터 + 센서/기판. 센서 사양(포맷, CRA)은 모듈과 함께 정해진다.

확인 퀴즈

Q1. f = 50 mm 렌즈로 1 m 앞 물체에 초점을 맞추려면 렌즈–센서 거리는 무한원 초점 위치보다 얼마나 늘어나야 할까?

$s' = 1000\times50/(1000-50) = 52.63$ mm이므로 무한원(50 mm)보다 2.63 mm 뒤. 초점거리가 짧은 폰 렌즈(4.3 mm)는 같은 조건에서 18.6 µm만 움직이면 된다($\Delta \approx f^2/s$).

Q2. f/2.0에서 f/2.8로 조리개를 조였다. 같은 밝기의 영상을 얻으려면 노출 시간을 어떻게 바꿔야 할까?

상면 조도 ∝ 1/N². $(2.8/2.0)^2 = 1.96$ ≈ 2배, 즉 정확히 1 스톱이다.

Q3. "1/1.3형(1/1.3인치)" 센서에 대한 설명으로 옳은 것은?

광학 포맷의 '인치'는 비디콘 촬상관의 유리관 지름이다. 1형의 감광면 대각이 약 16 mm였으므로 1/1.3형은 대략 12.3 mm(9.8 × 7.35 mm)다.

Q4. 픽셀 피치 0.8 µm 센서에서 나이퀴스트 주파수와, λ=550 nm·f/2.0 렌즈의 회절 차단 주파수는?

$f_N = 1/(2\times0.0008\text{ mm}) = 625$ lp/mm, $\nu_c = 1/(\lambda N) = 1/(0.00055\times2) = 909$ lp/mm. 나이퀴스트가 차단 주파수의 69%나 되어 회절 MTF가 이미 약 0.18 수준이다.

Q5. 렌즈의 CRA가 센서의 마이크로렌즈 시프트 설계 CRA보다 크게 들어오는 모듈에서 예상되는 현상이 아닌 것은?

중심에서는 CRA ≈ 0°라 시프트와 무관하다. 미스매치는 이미지 높이가 큰 곳에서만 스폿을 PD 밖으로 밀어내 감도 저하, 크로스토크, 색 틀어짐을 만든다.